Un professeur des écoles organise avec sa classe de CM1 une randonnée à vélo. Le parcours BCEFCDB est représenté ci-contre.

Sur la figure, on donne les informations suivantes :

• Les points D, C et F sont alignés.
• Le triangle BCD est rectangle en B.
• $BC = 7,5$ km, $CD = 8,5$ km, $CE = 6,8$ km, $CF = 6$ km, $FE = 3,2$ km.

1. Montrer que l'angle CFE est droit.
2. Déterminer la longueur totale du parcours.
3. Sachant que la vitesse moyenne du groupe est de $14\text{ km/h}$ la classe fera-t-elle le parcours en moins de 2 h 45 min ? Justifier la réponse.

1. Quatre personnes A, B, C, D se partagent une somme d'argent. On appelle a, b, c et d les montants respectivement reçus par A, B, C et D. On sait par ailleurs que :

• a représente $\frac{1}{4}$ de la somme totale ;
• b représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale ;
• C et D se partagent ce qui reste en prenant chacun le même montant.
  a. Déterminer la proportion que représente c par rapport à la somme totale.
  b. D reçoit 55 €. Déterminer les valeurs de a, b et c.

2. Quatre personnes E, F, G, H se partagent une somme d'argent s. On appelle e, f, g et h les montants respectivement reçus par E, F, G et H. On sait par ailleurs que :

• E perçoit le triple de F ;
• $g + h$ représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale ;
• $g = h$.
  Exprimer la part de chacun en fonction de s.

On donne le programme ci-contre :

qui permet de tracer des triangles de tailles différentes. Ce programme comporte une variable nommée « côté ». Les longueurs sont données en pixels.

Script principal :

• quand [drapeau vert] est cliqué
• effacer tout
• relever le stylo
• aller à x: -75 y: 50
• s'orienter à 90
• mettre [côté] à 100
• répéter 5 fois
  • Triangle
  • avancer de [côté] pas
  • ajouter -20 à [côté]

Bloc Triangle :

• définir Triangle
• stylo en position d'écriture
• répéter 3 fois
  • avancer de [côté] pas
  • tourner [vers la gauche] de 120 degrés

On rappelle que l'instruction s'orienter à 90 signifie que l'on se dirige vers la droite.

1. Répondre aux questions suivantes sans justifier. L'utilisateur clique sur le drapeau.
a. Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ?
b. Combien de triangles sont dessinés par le script ?
c. Quelle est la nature des triangles dessinés ?
d. Quelle est la longueur (en pas) d'un côté du deuxième triangle tracé ?

2. Tracer le dessin obtenu par ce programme en prenant comme échelle 1 cm pour 20 pas.

3. Si au lieu de triangles on voulait obtenir des hexagones réguliers, que devrait-on changer dans les instructions du bloc triangle ?

Partie A

Dans une école, un jardin pédagogique est constitué d'un terrain rectangulaire ABEC dont l'aire est égale à $100\text{ m}^2$. Des enseignants décident de planter des fraisiers, des tomates et des radis.

• Zone 1 (tomates) : triangle ACD rectangle en C.
• Zone 2 (radis) : triangle BEF rectangle en E.
• Zone 3 (fraisiers) : le reste du terrain en retirant la zone « Entrée ».
  L'entrée est un demi-disque délimité par le demi-cercle de diamètre [DF]. Elle doit rester libre de toute plantation.

Sur le segment [CE], on a $CD = 6,5\text{ m}$, $DF = 2\text{ m}$, et $FE = 4\text{ m}$.

1. Justifier que la largeur du terrain correspondant au segment [CA] est égale à 8 m.
2. Tracer un plan du terrain avec les différentes zones à l'échelle 1:80.
3. Le directeur veut installer une bordure sur les trois côtés autour de la zone 1 (tomates).
a. Montrer que $AD = \sqrt{106,25}\text{ m}$.
b. Déterminer la longueur de la bordure qu'il doit acheter. On donnera le résultat en mètre, arrondi à l'unité.
c. Les bordures sont vendues par rouleaux de 4 mètres. Déterminer le nombre de rouleaux nécessaire.
4. a. Calculer l'aire de la zone 1, en mètre carré.
b. Calculer l'aire de la zone 2, en mètre carré.
c. En déduire l'aire de la zone 3 (sans l'entrée), en mètre carré. Donner la valeur exacte puis arrondie au dixième.
5. On peut planter 6 pieds de fraisiers par $\text{m}^2$ et un pied produit en moyenne 650 grammes de fraises par an. Quelle masse de fraises les élèves peuvent-ils espérer récolter ? On donnera le résultat en kg, arrondi à l'unité.

Partie B

Les élèves récoltent 25 kg de fraises.
1. La recette de confiture dit que la quantité de sucre doit correspondre à 55% de la masse totale avant cuisson. Quelle masse de sucre, arrondie au kg, le directeur doit-il acheter ?
2. Sachant que 3 kg de fraises permettent de réaliser 4,8 L de confiture, combien de litres de confiture peut-on réaliser ?
3. Il décide de conditionner cette confiture dans des pots cylindriques de base 8,4 cm de diamètre et de 11 cm de hauteur. Les pots ne peuvent être remplis qu'au $8/9$ de leur capacité. Déterminer le nombre de pots qu'il devrait réaliser.
On rappelle : Volume d'un cylindre = $B \times h$.

Un enseignant souhaite décorer sa salle de classe avec une frise chronologique allant de la chute de l'Empire romain (476) à nos jours. Cette frise couvrira trois murs (nord, est, sud) de la salle rectangulaire en commençant par le coin nord-ouest et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.
La classe fait $8,8\text{ m}$ de longueur (mur nord et sud) et $7\text{ m}$ de largeur (mur est et ouest). La frise couvrira le mur nord (8,8 m), le mur est (7 m) et le mur sud (8,8 m).

1. L'enseignant prévoit d'assembler bord à bord des feuilles de format A4 ($21 \times 29,7\text{ cm}$) dans le sens de la longueur. Montrer qu'il faudra 83 feuilles pour réaliser la frise.
2. Par combien de centimètres est représentée une année sur cette frise chronologique ? Arrondir au dixième de millimètre près. (On considérera que "nos jours" correspond à l'année du concours, soit 2023).
3. L'enseignant utilise un tableur. Chaque ligne, à partir de la ligne 2, correspond à un événement de la frise : la colonne A contient l'intitulé de l'événement, la colonne B son année, la colonne C le nombre de cm depuis le début de la frise et la colonne D le résultat d'une formule. La ligne 2 contient :

• Cellule A2 : Fin de l'antiquité
• Cellule B2 : 476
• Cellule C2 : 0
• Cellule D2 : =ENT(C2/29,7)+1 (qui vaut 1)
  a. Proposer une formule à valider dans la cellule C3 (et non C2, car C2 contient la valeur d'origine 0), pouvant être étirée vers le bas afin de trouver tous les résultats de la colonne C, qui contient le nombre de cm depuis le début de la frise.
  b. Sachant que la formule dans la colonne D utilise la fonction partie entière, déterminer à quoi correspondent les nombres de la colonne D au sein de la salle de classe.
  4. Sur quel mur de la classe se trouvera l'événement « accostage de C. Colomb » (1492) si on le positionne sur la frise ?

Dans une école élémentaire de 150 élèves, 80 sont des filles. Le directeur réalise une enquête afin de connaître les élèves qui pratiquent déjà un instrument de musique.
À l'issue de l'enquête, il apparaît que 24% des élèves sont musiciens. Parmi ces élèves, 16 sont des garçons.

1. Reproduire et compléter le tableau croisé suivant :

2. On interroge un élève au hasard. On écrira les résultats sous forme de fractions irréductibles.
a. Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon ?
b. Quelle est la probabilité que ce soit une fille musicienne ?
c. Quelle est la probabilité que ce soit un élève non-musicien ?

3. L'élève interrogé est un garçon. Quelle est la probabilité qu'il soit musicien ?

4. 30% des filles musiciennes jouent d'un instrument à vent. Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à l'effectif total de l'école ?