Annale corrigée

Sujet CRPE 2023 Maths G2 : énoncé et corrigé

Session 2023MathématiquesÉpreuves bac+53 heures

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques — sujet officiel CRPE 2023 Maths G2 en accès libre : énoncé complet (6 exercices, 3 heures) et corrigé détaillé.

Sujet blanc — conditions du concours · Concoursia

Concours de recrutement de professeurs des écoles

Session 2023 · Groupement 2

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques

Durée : 3 heures

Consignes

Le sujet se compose de 6 exercices indépendants. Vérifiez qu'il est complet.
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout autre matériel électronique est interdit.
Rédigez vos réponses sur votre copie, et non sur le sujet.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, signalez-le sur votre copie et poursuivez votre composition.
Toute note inférieure ou égale à 5/20 est éliminatoire.

L'épreuve est notée sur 32 points, note ramenée sur 20.

Consignes générales

Ce sujet est composé de six exercices indépendants.

Exercice 1

8 points

Une directrice d'école primaire souhaite inscrire les élèves de l'école à une course solidaire d'action contre la faim afin de les sensibiliser à la sous-nutrition dans le monde. Il s'agit pour chaque élève de faire le plus de tours possible d'un parcours prédéfini. Pour chaque tour effectué, l'élève récolte une somme d'argent fixe qui sera versée à l'association caritative. La directrice décide de faire courir les élèves dans la cour de l'école, le long d'un parcours schématisé ci-dessous.

Plan du parcours de course solidaire : rectangle AFED, triangle BCD rectangle en B et demi-cercle de diamètre [CD]. Une partie du parcours est constituée d'un demi-cercle de diamètre [CD] et les longueurs sont données en mètre. Les points A, B, et D sont alignés et le quadrilatère AFED est un rectangle. Les élèves partent du point A et se déplacent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On a : $AB = 50\text{ m}$ ; $BC = 40\text{ m}$ ; $EF = 80\text{ m}$ et $FA = 30\text{ m}$ .

1. Calculer la longueur du segment [CD].
2. Montrer que la longueur du parcours, arrondie au mètre, est $309\text{ m}$ . On utilisera cette valeur dans la suite de l'exercice.
3. Construire un plan du parcours à l'échelle $1/800$ .
4. Killian a effectué un tour complet en 3 minutes. À quelle vitesse moyenne Killian a-t-il couru ? On donnera le résultat en mètre par seconde arrondi au centième, puis en kilomètre par heure, arrondi au dixième.
5. On suppose que Sophia court à une vitesse constante de $7\text{ km/h}$ .
a. Combien de tours complets pourrait-elle effectuer à cette vitesse en 18 minutes ?
b. On désigne par S le point du parcours où Sophia se trouve au bout de 18 minutes de course. Placer le point S sur le plan réalisé à la question 3.
6. L'école est composée de 325 élèves. Le tableau ci-dessous indique le nombre de tours complets effectués par les élèves.

Nombre de tours	2	3	4	5	6	7	8
Nombre d'élèves	52	52	78	65	39	26	13

a. Quel est le nombre moyen de tours complets effectués ?
b. Quelle est l'étendue de cette série statistique ?
c. Déterminer la médiane de cette série statistique.
d. Interpréter le résultat de la question c.
e. Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.
f. Quel pourcentage d'élèves a réussi à faire au moins 4 tours ?

Exercice 2

4 points

Un rectangle est défini dans le dictionnaire de la façon suivante :
« Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. »

1. Un quadrilatère qui possède deux angles droits est-il un rectangle ? Justifier.
2. Dans une classe de CE2, une enseignante demande à ses élèves de compléter la phrase suivante : « Un rectangle est un quadrilatère dont ... ».
Voici deux réponses proposées :
Élève A : « Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur ».
Élève B : « Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur ».
a. Préciser en quoi la réponse de l'élève A ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
b. Préciser en quoi la réponse de l'élève B ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
3. Quelle est la nature d'un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires ?
Quadrilatère ABCD dessiné à main levée, les quatre côtés portent une marque de longueur identique.

4. En s'appuyant sur le codage du quadrilatère ci-après dessiné à main levée (un quadrilatère ABCD dont les 4 côtés portent une marque de longueur identique), préciser la nature du quadrilatère en question en justifiant la réponse.

Exercice 3

8 points

Voici deux programmes de calcul :

Programme A (Script Scratch) :

Script Scratch du programme A : variables a, b, c, d, calcul (2×a+5)×(5×a−4).

Programme B :

Choisir un nombre
Prendre son double
Ajouter 5
Calculer le carré du résultat
Retourner le résultat trouvé

1. Montrer que si l'utilisateur saisit le nombre 2, alors le programme A retourne le nombre 54.
2. Calculer le résultat obtenu avec le programme A si le nombre saisi par l'utilisateur est 1,15.
3. Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le nombre 0 ?
4. a. Si l'utilisateur saisit le nombre 3, quel résultat le programme B retourne-t-il ?
b. Si l'utilisateur saisit le nombre $\frac{3}{4}$ , quel résultat le programme B retourne-t-il ?
5. On détermine les résultats suivants retournés par le programme B à l'aide d'une feuille de calcul automatisé.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	25	49	81	121	169	225	289	361	441

a. Quelle cellule du tableur permet de retrouver la réponse à la question 4.a. ci-dessus ?
b. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 (colonne B) de la feuille de calcul automatisé afin de la copier-glisser sur la ligne 2 ? (en considérant que le nombre de départ 0 est en B1 et le résultat 25 en B2).
6. a. Pour quel nombre de départ le programme B retourne-t-il le nombre zéro ?
b. Ce nombre de départ est-il rationnel ? Justifier.
c. Ce nombre de départ est-il décimal ? Justifier.
7. Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le même résultat que le programme B ?

Exercice 4

5 points

Deux élèves de CM2, Jeanne et Teddy, jouent à la bataille navale. Les deux joueurs doivent commencer par placer quatre navires horizontalement ou verticalement (sans chevauchement) sur leur grille de 8 lignes et 8 colonnes (64 cases), tenue secrète : 1 navire de deux cases, 2 navires de trois cases et 1 navire de quatre cases.
Lorsqu'un joueur énonce une case, son adversaire répond « À l'eau ! », « Touché ! » ou « Touché-coulé ! ».
Voici la grille de Teddy :

Navire de 2 cases en E1, F1.
Navire de 3 cases en G3, G4, G5.
Navire de 3 cases en B6, B7, B8.
Navire de 4 cases en A4, B4, C4, D4.
On suppose qu'à chaque tir, Jeanne choisit au hasard et de manière équiprobable une case de la grille qu'elle n'a pas énoncée précédemment.

1. Au premier essai :
a. Quelle est la probabilité que Jeanne touche un bateau ?
b. Quelle est la probabilité que Jeanne ne touche aucun bateau ?
c. Un des bateaux a une chance sur seize d'être touché. De combien de cases est-il composé ?
d. Jeanne choisit une case de la colonne B. Quelle est la probabilité qu'elle touche un bateau ?

2. Au premier essai de la partie, Jeanne désigne la case « E1 ». Teddy annonce « Touché ! ». Jeanne souhaite couler le bateau touché et choisit une case adjacente à la case « E1 ». Quelle est la probabilité qu'elle coule le bateau au coup suivant ? Justifier.

3. Teddy annonce « À l'eau ! » pour les deux premiers essais de Jeanne. Quelle est la probabilité de toucher un bateau pour son troisième essai ?

Exercice 5

3 points

Voici une formule permettant de passer de la mesure d'une température en degré Fahrenheit (notée F) vers la mesure de la même température en degré Celsius (notée C) :
$C = (F - 32) \times \frac{5}{9}$

1. En utilisant cette formule, convertir $95^{\circ}\text{F}$ en degré Celsius.
2. En utilisant cette formule, convertir $5^{\circ}\text{C}$ en degré Fahrenheit.
3. Existe-t-il des températures pour lesquelles la mesure en degrés Celsius est égale à la mesure en degrés Fahrenheit ? Donner toutes les réponses possibles en justifiant.

Exercice 6

4 points

Un professeur présente une règle de calcul pour déterminer avec ses dix doigts le produit de deux nombres entiers compris entre 5 et 10.
Exemple : Effectuons $6 \times 7$ .

Avec la main gauche, on lève 1 doigt (représentant le 6, soit $6 - 5$ ). Il reste 4 doigts baissés.
Avec la main droite, on lève 2 doigts (représentant le 7, soit $7 - 5$ ). Il reste 3 doigts baissés.
La somme du nombre de doigts levés indique un nombre de dizaines, le produit des doigts baissés indique un nombre d'unités.
Ici : $(1 + 2)$ dizaines et $(4 \times 3)$ unités, soit $30 + 12 = 42$ .

1. Appliquer cette règle pour calculer le produit $6 \times 8$ .
2. On note $g$ le nombre de doigts levés de la main gauche et $d$ le nombre de doigts levés de la main droite.
a. Que représentent dans ce contexte les nombres $(5-g)$ et $(5-d)$ ?
b. Démontrer l'égalité : $(5+g)(5+d) = 10(g+d) + (5-g)(5-d)$ .
c. Conclure quant à la validité de la règle de calcul.

Corrigé

Exercice 1

8 points

1. Le quadrilatère AFED est un rectangle, donc les côtés opposés sont de même longueur : $AD = EF = 80\text{ m}$ et $DE = FA = 30\text{ m}$ .
Les points A, B et D étant alignés dans cet ordre, on a $AD = AB + BD$ , soit $80 = 50 + BD$ . Donc $BD = 30\text{ m}$ .
Le triangle BCD est un triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a $CD^2 = BC^2 + BD^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$ .
Donc $CD = \sqrt{2500} = 50\text{ m}$ .

2. La longueur du parcours correspond au périmètre de la figure. Le parcours comprend les segments [AB], [BC], l'arc de demi-cercle de diamètre [CD], et les segments [DE], [EF], et [FA].
La longueur de l'arc de demi-cercle est $L = \frac{\pi \times d}{2} = \frac{\pi \times 50}{2} = 25\pi \approx 78,54\text{ m}$ .
La longueur totale du parcours est : $AB + BC + \text{Arc}(CD) + DE + EF + FA = 50 + 40 + 25\pi + 30 + 80 + 30 = 230 + 25\pi \approx 308,54\text{ m}$ .
Arrondie au mètre, la longueur du parcours est de $309\text{ m}$ .

3. À l'échelle $1/800$ , une longueur de $8\text{ m}$ ( $800\text{ cm}$ ) sur le terrain correspond à $1\text{ cm}$ sur le plan.
Les dimensions sur le plan sont :
$AB = 50 / 8 = 6,25\text{ cm}$ ;
$BC = 40 / 8 = 5\text{ cm}$ ;
$AD = EF = 80 / 8 = 10\text{ cm}$ ;
$FA = DE = 30 / 8 = 3,75\text{ cm}$ ;
$CD = 50 / 8 = 6,25\text{ cm}$ (diamètre du demi-cercle).
Le plan sera dessiné en respectant ces dimensions et les angles droits du rectangle et du triangle BCD.

4. Killian parcourt $309\text{ m}$ en 3 minutes ( $3 \times 60 = 180\text{ s}$ ).
Sa vitesse moyenne en mètre par seconde est : $V = \frac{d}{t} = \frac{309}{180} \approx 1,72\text{ m/s}$ (arrondi au centième).
Sa vitesse moyenne en kilomètre par heure est : $V = \frac{309\text{ m}}{3\text{ min}} = \frac{0,309\text{ km}}{3/60\text{ h}} = 0,309 \times \frac{60}{3} = 6,18\text{ km/h}$ .
Arrondie au dixième, la vitesse est de $6,2\text{ km/h}$ .

5. a. Sophia court à $7\text{ km/h}$ , soit $7000\text{ m}$ en 60 minutes.
En 18 minutes, elle parcourt une distance $d = \frac{7000 \times 18}{60} = 2100\text{ m}$ .
Le nombre de tours complets est : $\frac{2100}{309} \approx 6,79$ . Elle peut donc effectuer 6 tours complets.
b. La distance parcourue par Sophia au-delà de ses 6 tours est : $2100 - (6 \times 309) = 2100 - 1854 = 246\text{ m}$ .
En partant de A, parcourons le bord :
$AB = 50\text{ m}$ . Reste : $196\text{ m}$ .
$BC = 40\text{ m}$ . Reste : $156\text{ m}$ .
Arc CD $\approx 78,54\text{ m}$ . Reste : $156 - 78,54 = 77,46\text{ m}$ .
$DE = 30\text{ m}$ . Reste : $47,46\text{ m}$ .
Sophia se trouve donc sur le segment [EF], à $47,46\text{ m}$ du point E. Sur le plan, le point S sera placé sur le segment [EF] à $47,46 / 8 \approx 5,93\text{ cm}$ du point E.

6. a. La moyenne est $\bar{x} = \frac{(2 \times 52) + (3 \times 52) + (4 \times 78) + (5 \times 65) + (6 \times 39) + (7 \times 26) + (8 \times 13)}{325} = \frac{1417}{325} \approx 4,36$ tours.
b. L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $8 - 2 = 6$ tours.
c. L'effectif total est de 325. La médiane correspond à la $163^\text{ème}$ valeur (car $325 / 2 = 162,5$ ).
En calculant les effectifs cumulés croissants :

2 tours : 52
3 tours : $52 + 52 = 104$
4 tours : $104 + 78 = 182$
La $163^\text{ème}$ valeur tombe dans la modalité 4. La médiane est donc de 4 tours.
d. L'interprétation est qu'au moins la moitié des élèves a effectué 4 tours ou moins, et au moins la moitié a effectué 4 tours ou plus.
e. Le premier quartile ( $Q_1$ ) correspond à la valeur de rang $325 \times \frac{1}{4} = 81,25$ , soit la $82^\text{ème}$ valeur. D'après les effectifs cumulés, c'est 3 tours.
Le troisième quartile ( $Q_3$ ) correspond à la valeur de rang $325 \times \frac{3}{4} = 243,75$ , soit la $244^\text{ème}$ valeur.
Effectifs cumulés : $182 + 65 = 247$ pour 5 tours. Donc $Q_3 = 5$ tours.
f. Le nombre d'élèves ayant fait au moins 4 tours est $78 + 65 + 39 + 26 + 13 = 221$ .
Le pourcentage est : $\frac{221}{325} \times 100 = 68\%$ .

Démarche et points de vigilance

Cet exercice en cascade mobilise géométrie, grandeurs et statistiques : les résultats s'enchaînent, donc validez chaque étape avant d'avancer.

Démarche attendue :

Q1 : justifiez $BD = 30$ m grâce au rectangle et à l'alignement des points, puis appliquez le théorème de Pythagore dans le triangle BCD rectangle en B ;
Q2 : additionnez segments et demi-cercle (la moitié du périmètre du cercle) en gardant la valeur exacte en π avant d'arrondir ;
Q3 à Q5 : à l'échelle 1/800, divisez les longueurs réelles converties en cm par 800 ; pour les vitesses, soignez les conversions (m/s puis km/h) ;
Q6 : dressez les effectifs cumulés croissants, l'outil qui donne médiane et quartiles sans erreur.

Pièges du barème : arrondir trop tôt (conservez 230 + 25π), confondre cercle et demi-cercle, et localiser la médiane au mauvais rang (163e valeur sur 325).

Suite du corrigé

Les corrigés des 5 exercices suivants sont gratuits aussi

Créez un compte gratuit en une minute (lien magique par email, sans mot de passe) et revenez directement sur cette page : la suite du corrigé s'affiche au même endroit.

Voir la suite du corrigé gratuitement

Prêt·e pour l'écrit et l'oral ?

Créez votre compte et lancez votre préparation, à l'écrit comme à l'oral. À l'inscription, un oral blanc complet et une correction de copie sont offerts, sans carte bancaire — vous testez la méthode, puis vous choisissez.

Créer mon compte Voir les tarifs