1. L'entier 4 216 est-il un multiple de 17 ? Justifier.

2. Guillaume veut revoir sa leçon en prenant son petit déjeuner. Malheureusement, il a renversé son chocolat sur sa feuille. Le chiffre des unités et la justification de l'exemple du maître sont illisibles...
« 2 29_ est divisible par 3 car ... »
a. Rappeler le critère de divisibilité par 3.
b. Donner toutes les valeurs possibles du chiffre des unités, caché par la tache située à gauche.

3. On admet qu'un nombre entier $n$ est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est un multiple de 7, positif ou négatif.
Par exemple, 294 est divisible par 7 car $29 - 4 \times 2 = 21$, et 21 est divisible par 7.
a. En détaillant les étapes, vérifier que 413 est bien divisible par 7 en utilisant le critère indiqué ci-dessus.
b. Le nombre 5 292 est-il divisible par 7 ? Répondre en appliquant, plusieurs fois si nécessaire, le critère précédent.
c. Pour déterminer si 1 138 984 est divisible par 7, on utilise le critère précédent à l'aide d'un tableur. On rappelle que la fonction ENT renvoie la partie entière d'un nombre.
Dans la cellule B1 on a saisi la formule : =ENT(A1/10).

Observer la feuille de calcul (où A1=1138984, B1=113898, C1=4, D1=113890) puis indiquer des formules ayant pu être saisies dans les cellules C1 et D1 qui, étirées vers le bas de la feuille de calcul, permettent d'obtenir directement les étapes de l'algorithme.
d. Le nombre 1 138 984 est-il divisible par 7 ? Justifier en interprétant les résultats fournis par la feuille de calcul (la ligne 5 donne A5=112, B5=11, C5=2, D5=7).

1. Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, ABIFCDE, est représenté ci-contre.

Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
F $\in$ [AC] et I $\in$ [BC].
Les droites (AB), (FI) et (DE) sont parallèles.
ABC est un triangle rectangle en A.
$AB = 300$ m ; $AC = 400$ m ; $CD = 1250$ m et $IC = 350$ m.

a. Déterminer la longueur BC.
b. Déterminer les longueurs IF et CF.
c. Déterminer la longueur ED.
d. Calculer la longueur du parcours ABIFCDE.

2. Quentin, un adolescent de 16 ans, fait du vélo. On a représenté ci-dessous la distance parcourue en fonction de la durée de parcours lors de sa dernière sortie.

a. La durée du parcours en heure est-elle proportionnelle à la distance parcourue en kilomètre ? Justifier.
Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par le graphique.
b. Quelle distance a parcouru Quentin en 1 h ?
c. Déterminer la vitesse moyenne de Quentin durant la première heure, en mètre par seconde, avec un arrondi au centième.
d. Quelle distance a parcouru Quentin en 1 h 45 ?
e. Estimer la vitesse de Quentin durant la troisième heure de son parcours, en kilomètre par heure.
f. Peut-on affirmer que sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de 40 % à sa vitesse moyenne lors de la première heure ? Justifier.
g. Quelle est la vitesse moyenne de Quentin lors de cette sortie, en kilomètre par heure, avec un arrondi au centième ?

Un enseignant de CM2 souhaite créer avec ses élèves des décorations pour la salle de classe.

1. Un premier groupe fabriquera une guirlande constituée d'un motif proposé par l'enseignant dans le script ci-dessous.

En voyant apparaître la figure :
Pierre dit : « c'est un losange ».
Ana dit : « ce n'est pas un rectangle ».
Karim dit : « c'est un quadrilatère ».
Lucie dit : « c'est un carré ».
En utilisant le script et les propriétés des quadrilatères, dire si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant.

2. Un second groupe fabriquera des étoiles. L'enseignant leur a montré comment dessiner une étoile à cinq branches sur GeoGebra en utilisant un pentagone :

Pour pouvoir construire des pentagones avec la règle et le compas, il propose le programme de construction ci-dessous.

Tracer un segment [RS]. Placer le point O au milieu du segment [RS].
Tracer le cercle de diamètre [RS]. Soit L un point de ce cercle tel que (OL) ⊥ (RS).
Placer le point I au milieu du segment [OS]. Le cercle de centre I et de rayon IL coupe le segment [RO] en D.
LD est la longueur des côtés du pentagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre [RS]. Placer les 5 sommets du pentagone sur le cercle. Construire le pentagone.

La longueur des côtés du pentagone obtenu est proportionnelle à la longueur du segment [RS] choisi au départ. En choisissant un segment [RS] de longueur 4 cm, on obtient un pentagone dont les côtés mesurent $\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ cm.

a. Montrer que pour obtenir un pentagone dont les côtés mesurent 7 cm, il faut commencer par construire un segment [RS] mesurant environ 11,9 cm.
b. En utilisant le programme de construction précédent, construire un pentagone régulier LMNPQ dont les côtés mesurent 7 cm.

Puis, il leur montre l'étoile à cinq branches ci-dessous, obtenue en utilisant le logiciel Scratch :

c. Recopier et compléter les lignes 7 et 9 du script utilisé pour construire l'étoile. On rappelle que lorsque le lutin est orienté à 90°, cela signifie qu'il va se déplacer vers la droite.
d. Quel est le périmètre, en pas, de cette étoile ?
e. L'enseignant souhaite doubler le périmètre de son étoile. Recopier les quatre lignes à l'intérieur du bloc « répéter », lignes 8 à 11, en apportant les modifications nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.

Dans une classe de Grande Section, l'enseignant propose un jeu où il s'agit d'être le premier à avoir exactement 15 jetons. Chaque élève lance deux dés à 6 faces numérotées de 1 à 6.

• Si les deux dés indiquent le même nombre, l'élève prend autant de jetons que l'indique l'un des deux dés.
• Sinon, il prend autant de jetons que le plus grand des deux nombres ou le double du plus petit.
• Un élève a la possibilité de passer son tour (il ne prend aucun jeton).

1. Un élève lance un 3 et un 2. Combien de jetons peut-il prendre ? Donner tous les cas possibles.
2. Dresser la liste des tirages permettant d'obtenir 3 jetons.
3. Un élève lance les deux dés.
a. Montrer que la probabilité de l'événement « les nombres obtenus sont un 3 et un 2 » est de $\frac{1}{18}$.
b. Quelle est la probabilité de l'événement « au moins un des nombres obtenus est 3 » ?
c. Quelle est la probabilité de l'événement « les nombres obtenus permettent de prendre 4 jetons » ?
4. Après un nouveau lancer, un élève a pris 3 jetons. Au lancer suivant, la probabilité qu'il prenne de nouveau 3 jetons augmente-t-elle, reste-t-elle identique ou diminue-t-elle par rapport au tirage précédent ? Justifier.
5. En fin de partie, un élève possède 12 jetons. Lors de son lancer, il obtient un 1 et un 4. Pourquoi est-il préférable pour lui de passer son tour ?

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.

Affirmation 1 : « 257 est un nombre décimal. »

Affirmation 2 : « $\frac{7}{3} - 8$ est un nombre rationnel. »

Affirmation 3 : « La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. »

Affirmation 4 : « L'équation $(x+1)(x-2) = (x-3)(x+4)$ admet un nombre entier comme solution. »

Affirmation 5 : « Augmenter une quantité de 15% puis de 10% revient à l'augmenter de son quart. »

Affirmation 6 : « Un quadrilatère ayant un angle droit est un rectangle. »

Affirmation 7 : « Un triangle rectangle peut être équilatéral. »

Affirmation 8 : « Par la fonction $f$ définie par $f(x)=-3x+1$, l'antécédent de 4 est $-11$. »

Affirmation 9 : « Le triangle ABC, schématisé ci-dessous, est rectangle. »

Affirmation 10 : « Si on multiplie par 3 les longueurs des côtés d'un rectangle, alors son aire est également multipliée par 3. »