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Sujet CRPE 2024 Maths G2 : énoncé et corrigé

Session 2024MathématiquesÉpreuves bac+53 heures

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques — sujet officiel CRPE 2024 Maths G2 en accès libre : énoncé complet (5 exercices, 3 heures) et corrigé détaillé.

Sujet blanc — conditions du concours · Concoursia

Concours de recrutement de professeurs des écoles

Session 2024 · Groupement 2

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques

Durée : 3 heures

Consignes

Le sujet se compose de 5 exercices indépendants. Vérifiez qu'il est complet.
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout autre matériel électronique est interdit.
Rédigez vos réponses sur votre copie, et non sur le sujet.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, signalez-le sur votre copie et poursuivez votre composition.
Toute note inférieure ou égale à 5/20 est éliminatoire.

L'épreuve est notée sur 40 points, note ramenée sur 20.

Consignes générales

Ce sujet est composé de 5 exercices indépendants.

Exercice 1

8 points

Le directeur d'une école primaire organise un tournoi sportif pour les élèves de CE2 et de CM1 des écoles de la ville. Au total, on compte 72 élèves de CE2 et 108 élèves de CM1 répartis dans quatre écoles.

PARTIE A

Le directeur souhaite que les équipes soient composées selon les règles suivantes :

le nombre d'élèves de CE2 doit être identique dans toutes les équipes.
le nombre d'élèves de CM1 doit être identique dans toutes les équipes.

1. Le directeur envisage dans un premier temps de constituer 14 équipes avec un maximum d'élèves des deux niveaux (sans nécessairement sélectionner tous les élèves).
a. Donner la composition de chaque équipe.
b. Dans ces conditions, combien d'élèves ne participeront pas au tournoi ?

2. Le directeur change d'avis : il souhaite que tous les élèves puissent participer. Pour cela, il cherche à déterminer le nombre d'équipes adéquat.
a. Peut-il constituer 8 équipes ? Justifier.
b. Décomposer 72 et 108 en produit de facteurs premiers.
c. En déduire la liste des diviseurs communs à 72 et 108.
d. Quel nombre d'équipes maximal le directeur peut-il constituer ? Préciser alors la composition de chaque équipe.

PARTIE B

Le tableau ci-dessous indique la répartition des élèves de CE2 et de CM1 qui participent au tournoi selon leur école de scolarisation :

École	École Aimé Césaire	École Irène Joliot-Curie	École Lucie Aubrac	École Victor Hugo
Effectif en CE2	20	22	14	16
Effectif en CM1	24	19	34	31

1. Parmi les élèves de l'école Irène Joliot-Curie qui participent au tournoi, quelle est la proportion d'élèves de CE2 ? Donner le résultat en pourcentage arrondi à l'unité.
2. Calculer le nombre moyen d'élèves en classe de CM1 sur l'ensemble des quatre écoles.
3. On choisit un élève au hasard parmi tous les élèves qui participent au tournoi. Quelle est la probabilité qu'il soit en CM1 ?
4. On choisit un élève au hasard parmi les élèves de CE2 qui participent au tournoi. Quelle est la probabilité qu'il soit scolarisé à l'école Aimé Césaire ? Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Exercice 2

9 points

PARTIE A

Sur le schéma ci-contre le triangle PRC rectangle en R représente une cour d'école.

Schéma de la cour d'école : triangle PRC rectangle en R, zone naturelle PAS et zone bétonnée RASC.

Les points P, A et R sont alignés.
Les points P, S et C sont alignés.
$PA = 28$ m, $AR = 10$ m, $PS = 35$ m.

Il est prévu d'aménager sur cette cour :

une zone naturelle engazonnée représentée par le triangle PAS rectangle en A ;
une zone bétonnée représentée par la partie RASC.

1. Tracer le plan de la cour d'école en choisissant comme échelle 1 cm pour 5 m. Justifier les dimensions utilisées et laisser les traits de construction apparents.
2. Montrer que $AS = 21$ m.
3. Calculer RC.
4. Vérifier que l'aire du quadrilatère RASC est égale à $247{,}5$ m².

PARTIE B

La commune souhaite recouvrir la zone bétonnée d'un revêtement en résine. La résine choisie est uniquement vendue en pots. Chaque pot permet de recouvrir $56$ m². La commune prévoit d'appliquer deux couches de résine.

1. Calculer le nombre de pots nécessaires pour recouvrir la zone bétonnée.

2. La commune peut choisir parmi les propositions de deux fournisseurs de résine.

	Fournisseur A	Fournisseur B
	Ce fournisseur facture la résine et la pose de la résine à 215,75 € le pot de résine.	Chaque pot de résine est vendu 138,50 €. Les frais de pose pour l'ensemble de la commande s'élèvent à 600 €.

a. Soit $f$ la fonction qui au nombre $n$ de pots de résine achetés auprès du fournisseur A associe le prix total à payer en euros. Donner l'expression de $f(n)$ .
b. Soit $g$ la fonction qui au nombre $n$ de pots de résine achetés auprès du fournisseur B associe le prix total à payer en euros. Donner l'expression de $g(n)$ .

3. a. En exploitant le graphique ci-dessous, déterminer le fournisseur le plus intéressant pour la commune ainsi que le coût approximatif correspondant. Expliquer votre démarche.

Graphique des prix en fonction du nombre de pots : droites des fournisseurs A et B.

b. Calculer le coût exact de ces travaux avec le fournisseur retenu.

PARTIE C

En prévision d'une éventuelle extension de la zone bétonnée, un troisième fournisseur est sollicité.

Fournisseur C
Chaque pot de résine est vendu 104,65 €. Les frais de pose pour l'ensemble de la commande s'élèvent à 995,75 €.

Pour comparer les propositions des fournisseurs B et C selon le nombre de pots utilisés, la commune exploite la feuille de calcul ci-après :

	A	B	C
1	Nombre de pots	Coût fournisseur B (en €)	Coût fournisseur C (en €)
2	1	738,5	1100,4
3	2	877	1205,05
4	3	1015,5	1309,7
5	4	1154	1414,35
6	5	1292,5	1519
7	6	1431	1623,65
8	7	1569,5	1728,3
9	8	1708	1832,95
10	9	1846,5	1937,6
11	10	1985	2042,25
12	11	2123,5	2146,9
13	12	2262	2251,55
14	13	2400,5	2356,2
15	14	2539	2460,85
16	15	2677,5	2565,5
17	16	2816	2670,15
18	17	2954,5	2774,8
19	18	3093	2879,45
20	19	3231,5	2984,1
21	20	3370	3088,75
22	21	3508,5	3193,4
23	22	3647	3298,05
24	23	3785,5	3402,7
25	24	3924	3507,35
26	25	4062,5	3612
27	26	4201	3716,65

1. Quelle formule a été saisie en cellule C2 puis étirée pour compléter la colonne C ?
2. À l'aide du tableau, déterminer à partir de combien de pots le fournisseur C semble être plus intéressant que le fournisseur B.
3. Écrire et résoudre une inéquation qui permet de retrouver ce résultat.

Exercice 3

7 points

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre de départ
Prendre le carré du nombre de départ
Ajouter le triple du nombre de départ
Soustraire 4 au résultat

1. Montrer que le résultat du programme de calcul est 36 lorsque le nombre de départ choisi est 5.
2. Quel résultat obtient-on avec ce programme de calcul en choisissant $\frac{5}{3}$ pour nombre de départ ?
3. On considère le script ci-dessous rédigé avec le logiciel Scratch.

Script Scratch du programme de calcul : variables réponse et resultat, lignes 4 et 5 à compléter.

Recopier et compléter les lignes 4 et 5 du script pour qu'il exécute le programme de calcul.
Aucune justification n'est attendue.

4. a. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
b. Vérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme $(x-1)(x+4)$ .
c. Écrire et résoudre l'équation qui permet de trouver le(s) nombre(s) à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.

Exercice 4

8 points

Rappels :

Le volume d'un cylindre d'aire de base $B$ et de hauteur $h$ est égal à $B \times h$ .
Le volume d'une sphère de rayon $R$ est égal à $\frac{4}{3}\pi R^3$ .

Le cuisinier d'une cantine confectionne des gâteaux pour les 210 élèves d'une école primaire.

1. Le cuisinier prépare la pâte et la place dans un saladier en forme de demi-sphère de diamètre 42 cm. Ce saladier est entièrement rempli.
a. Vérifier que l'arrondi à l'unité du volume de pâte en $cm^3$ contenu dans le saladier est égal à 19 396 $cm^3$ .
b. Exprimer ce volume en litre et en donner l'arrondi au dixième.

2. Le cuisinier envisage d'utiliser des moules tous identiques, de forme cylindrique de 3 cm de rayon et de 5 cm de hauteur. Le cuisinier les remplira de pâte aux trois quarts de leur hauteur. Quel nombre maximal de moules peut-il remplir en utilisant toute la pâte ?

3. a. Le cuisinier change d'avis et choisit d'autres moules. Ces moules ont la forme de pavé droit de dimensions 4 cm de largeur, 6 cm de longueur et 5 cm de hauteur. À quelle hauteur de pâte doit-il les remplir pour faire 210 gâteaux identiques en utilisant toute la pâte ? Donner la valeur arrondie au millimètre.
b. Quand la pâte cuit, la hauteur du gâteau augmente de 15%. Quelle sera la hauteur, arrondie au millimètre, de chaque gâteau après cuisson ?

Exercice 5

8 points

PARTIE A

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.

1. Le nombre 1,63 est un nombre rationnel.
2. Tout nombre réel $x$ vérifiant $x < -4$ appartient à l'intervalle $]-\infty; -6]$ .
3. Le croquis ci-dessous représente un carré.

Croquis à main levée d'un quadrilatère : les quatre côtés sont codés de même longueur et les quatre angles sont codés droits. Le dessin ne respecte pas les proportions.

PARTIE B

Pour chacune des questions ci-dessous, plusieurs réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est attendue.

	A	B	C	D
1. L'équation $7x - 9 = 0$ a pour solution	$1{,}29$	$-1{,}29$	$\dfrac{9}{7}$	$\dfrac{7}{9}$
2. L'inéquation $5 - 4x \ge 0$ a pour solution les nombres $x$ tels que	$x \ge -1{,}25$	$x \ge 1{,}25$	$x \le 0{,}8$	$x \le 1{,}25$
3. On considère ce problème : « Zoé a 7 crayons de plus que Léa. À elles deux, elles en ont 31. » Soit $x$ le nombre de crayons de Zoé. Une équation qui permet de calculer le nombre de crayons de Zoé est :	$2x - 7 = 31$	$2x + 7 = 31$	$31 - 2x = 7$	$x + 7 = 31$
4. On considère le problème suivant : « Je suis un nombre. Si on me retranche 5, puis on multiplie le résultat par 2, le résultat est strictement supérieur à mon quadruple. Qui suis-je ? » Soit $x$ le nombre cherché. Une inéquation qui permet de traduire ce problème est :	$(x - 5) \times 2 > 4x$	$2x - 5 > 4x$	$x - 5 > 2x$	$2x - 10 > 4$

Corrigé

Exercice 1

8 points

PARTIE A

1. a. On effectue la division euclidienne des effectifs totaux par le nombre d'équipes (14) :

Pour les CE2 : $72 = 14 \times 5 + 2$ . Chaque équipe comportera 5 élèves de CE2.
Pour les CM1 : $108 = 14 \times 7 + 10$ . Chaque équipe comportera 7 élèves de CM1.
La composition de chaque équipe est donc de 5 élèves de CE2 et 7 élèves de CM1.
1. b. Les élèves qui ne participeront pas correspondent aux restes des divisions : 2 élèves de CE2 et 10 élèves de CM1, soit un total de 12 élèves écartés du tournoi.
2. a. Pour que tous les élèves participent, les effectifs doivent être divisibles par le nombre d'équipes. Si 72 est divisible par 8 ( $72 = 8 \times 9$ ), ce n'est pas le cas de 108 ( $108 = 8 \times 13 + 4$ ). Il ne peut donc pas constituer 8 équipes complètes.
2. b. Décomposition en facteurs premiers :
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 4 \times 27 = 2^2 \times 3^3$
2. c. Les diviseurs communs à 72 et 108 sont les diviseurs de leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Le PGCD est $2^2 \times 3^2 = 36$ . Les diviseurs communs sont donc les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
2. d. Le nombre maximal d'équipes correspond au PGCD, soit 36 équipes.
La composition de chaque équipe sera de $72 / 36 = 2$ élèves de CE2, et $108 / 36 = 3$ élèves de CM1.

PARTIE B

1. À l'école Irène Joliot-Curie, il y a 22 CE2 et 19 CM1, soit un total de $22 + 19 = 41$ élèves.
La proportion d'élèves de CE2 est de $\frac{22}{41} \approx 0,5365$ . En pourcentage, cela correspond à $54\%$ (arrondi à l'unité).
2. La moyenne en CM1 est la somme des effectifs divisée par 4 : $\frac{24 + 19 + 34 + 31}{4} = \frac{108}{4} = 27$ élèves par école.
3. L'effectif total du tournoi est $72 + 108 = 180$ élèves. La probabilité de choisir un élève de CM1 est de $\frac{108}{180} = \frac{3}{5}$ (soit 0,6 ou 60%).
4. Le nombre total d'élèves de CE2 est de 72. Parmi eux, 20 sont scolarisés à l'école Aimé Césaire. La probabilité est donc de $\frac{20}{72}$ . En divisant le numérateur et le dénominateur par 4, on obtient la fraction irréductible $\frac{5}{18}$ .

Démarche et points de vigilance

Partie A (arithmétique) : quand le nombre d'équipes est imposé (14), c'est une division euclidienne — le quotient donne la composition, le reste les exclus. Quand tous les élèves doivent participer, le nombre d'équipes doit diviser 72 et 108 : décomposez en facteurs premiers, le maximum cherché est le PGCD (36). Pièges : confondre PGCD et PPCM, ou oublier de donner la composition finale demandée.

Partie B (statistiques et probabilités) : la difficulté est d'identifier la population de référence à chaque question. En B1, on divise par les 41 élèves de Joliot-Curie ; en B3 par les 180 participants ; en B4 par les 72 élèves de CE2 seulement. Respectez les formes exigées (pourcentage arrondi à l'unité, fraction irréductible) : le barème les sanctionne.

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