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Sujet CRPE 2025 Maths (externe supplémentaire) : énoncé et corrigé

Session 2025MathématiquesÉpreuves bac+53 heures

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques — sujet officiel CRPE 2025 Maths (externe supplémentaire) en accès libre : énoncé complet (5 exercices, 3 heures) et corrigé détaillé.

Sujet blanc — conditions du concours · Concoursia

Concours de recrutement de professeurs des écoles

Session 2025

Épreuve écrite disciplinaire de mathématiques

Durée : 3 heures

Consignes

Le sujet se compose de 5 exercices indépendants. Vérifiez qu'il est complet.
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout autre matériel électronique est interdit.
Rédigez vos réponses sur votre copie, et non sur le sujet.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, signalez-le sur votre copie et poursuivez votre composition.
Toute note inférieure ou égale à 5/20 est éliminatoire.

L'épreuve est notée sur 32 points, note ramenée sur 20.

Consignes générales

Ce sujet est composé de cinq exercices indépendants.

Exercice 1

8 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Une zone de jeu est modélisée par la partie grisée représentée ci-dessous, composée du quadrilatère AEDC et du demi-disque de diamètre [DC].

Zone de jeu grisée : quadrilatère AEDC et demi-disque de diamètre [DC], triangle ABC rectangle en B.

Le triangle ABC est rectangle en B tel que $AB=140\text{ m}$ et $BC=105\text{ m}$ .
On appelle D le point du segment [BC] tel que $BD=75\text{ m}$ .
La parallèle à la droite (AC) passant par D coupe la droite (AB) en E.

Partie A : zone de jeu

1. Calculer la longueur du segment [AC] en mètre.
2. Démontrer que la longueur du segment [BE] est de 100 m.
3. a. Calculer l'aire du triangle ABC en $m^2$ .
b. En déduire l'aire du quadrilatère AEDC en $m^2$ .
c. Calculer la valeur exacte de l'aire de la zone de jeu et donner la valeur arrondie au $m^2$ .

Partie B : relais chronométré par équipe

Une classe de CM2 participe à une course de relais par équipes de quatre élèves : quatre balises W, X, Y et Z sont placées dans la zone de jeu. Toutes les équipes partent du point B.
La course consiste à réaliser le parcours suivant : le premier élève de l'équipe part du point B, rejoint la balise W et revient au point B. Il passe alors le relais au deuxième élève de l'équipe, qui rejoint la balise X et revient au point B et ainsi de suite.
On admet que chaque équipe parcourt la même distance au cours du relais.

1. L'équipe 1 a effectué le parcours à la vitesse moyenne de $11\text{ km/h}$ . L'équipe 2 l'a réalisé à une allure de 6 min 10 s par km. Laquelle des deux équipes a été la plus rapide pour finir la course ? Justifier.
2. On a recueilli, dans une feuille de calcul, le temps en minutes mis par les équipes pour atteindre chacune des quatre balises à partir du point de départ B. Les valeurs des cellules C5 et F5 ont été effacées.

Feuille de calcul : temps en minutes des équipes 1 à 4 pour l'aller-retour vers les balises W, X, Y, Z (colonnes B à E) et temps total (colonne F) ; cellules C5 et F5 vides, ligne 6 « Moyenne » vide.

a. L'équipe 2 a été la plus rapide à faire l'aller-retour entre le point B et la balise X. L'étendue des temps pour trouver cette balise est de 2,9 minutes. Calculer le temps mis par l'équipe 4 pour réaliser cet aller-retour.
b. Calculer le temps moyen mis par les équipes pour faire l'aller-retour entre le point B et la balise W. Donner la réponse en minute seconde.
c. Quelle formule peut être saisie dans la cellule B6 puis recopiée vers la droite pour obtenir la ligne 6 complétée ?

Partie C : Étude d'une balise

Un tronc de cône est obtenu en enlevant à un cône sa partie supérieure coupée par un plan.

Les balises utilisées ont la forme d'un tronc de cône. Elles sont réalisées à partir d'un cône de révolution de sommet S, de hauteur $OS=15\text{ cm}$ et de base le disque de rayon 10 cm.
Ce cône est coupé par un plan parallèle à la base.
Ce plan passe par le point A appartenant au segment [OS] tel que $SA=3\text{ cm}$ .

Cône de révolution de sommet S coupé par un plan parallèle à la base passant par le point A du segment [OS] ; O est le centre du disque de base et C un point de son cercle.

1. Calculer le volume exact, en $cm^3$ , du cône de sommet S, de hauteur OS et de base le disque de rayon OC.

On rappelle que :
Volume d'un cône $=\frac{1}{3}\times(\text{aire de la base})\times h$
où $h$ désigne la hauteur du cône.

2. On admet que le cône de sommet S et de hauteur SA est une réduction du cône de sommet S et de hauteur SO. Déterminer le coefficient de réduction correspondant.
3. Calculer le volume exact du cône de sommet S et de hauteur SA en $cm^3$ .
4. En déduire le volume exact de la balise en $cm^3$ . Donner sa valeur arrondie au $cm^3$ .

Exercice 2

8 points

Un entraîneur d'un club sportif organise un test physique pour la catégorie des benjamines et benjamins. Ce test consiste à parcourir la plus grande distance possible en 12 minutes.

L'entraîneur s'appuie sur le tableau ci-dessous pour évaluer la condition physique des enfants.

Indice de forme	Garçons	Filles
Insuffisant	moins de 2 000 m	moins de 1 800 m
Suffisant	2 000 à 2 400 m	1 800 à 2 200 m
Bon	2 400 à 3 000 m	2 200 à 2 800 m
Très bon	plus de 3 000 m	plus de 2 800 m

1. Le tableau ci-dessous donne les performances de l'intégralité des benjamines et benjamins du club.

Distance parcourue (m)	1 900	2 100	2 300	2 500	2 700	2 900	3 100	3 200
Effectif benjamins	1	5	1	1	1	2	1	1
Effectif benjamines	0	2	3	2	3	2	2	0

a. Déterminer la médiane de la série des distances parcourues par les benjamins. Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
b. Calculer la distance moyenne parcourue pour l'ensemble de cette catégorie (benjamins et benjamines), arrondie au mètre.
c. Déterminer la proportion des enfants ayant un indice de forme « bon » ou « très bon ». On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi à l'unité.

2. Après deux mois d'entraînement, les benjamines et benjamins du club effectuent à nouveau ce test. Les résultats sont représentés sur le diagramme suivant.

Diagramme en bâtons des effectifs par distance parcourue (m) au second test : 1900 → 2 ; 2100 → 1 ; 2300 → 4 ; 2500 → 3 ; 2700 → 4 ; 2900 → 6 ; 3100 → 5 ; 3200 → 2.

a. L'intégralité des benjamines et benjamins du club a-t-elle effectué ce second test ?
b. Calculer l'étendue de cette seconde série de résultats.
c. Sachant que la distance moyenne parcourue à l'issue de ce second test s'est améliorée pour atteindre 2 693 m (valeur arrondie à l'unité), calculer le taux d'évolution de la distance moyenne parcourue entre les deux tests. On exprimera le résultat sous forme de pourcentage arrondi au dixième.

3. Le test réalisé par l'entraîneur permet d'estimer la quantité maximale d'oxygène que l'organisme peut utiliser par unité de temps. On appelle cette quantité la $VO_2$ max. Elle est exprimée en millilitres par minute et par kilogramme (mL/min/kg) et vérifie la formule suivante :

$VO_2\text{ max} = 22,351 \times D - 11,288$

où $D$ est la distance parcourue (en km) lors du test.

a. Quelle est la $VO_2$ max d'un enfant ayant parcouru 2 800 m ?
b. Quelle distance faut-il parcourir pour obtenir une $VO_2$ max égale à 47 mL/min/kg ? Arrondir la réponse au mètre.

Exercice 3

5 points

Une enseignante a proposé à trois élèves de la classe, Apolline, Kylian et Sakhina de tracer le motif ci-dessous à l'aide du logiciel Scratch.

Motif Scratch en croix sur quadrillage de 4 colonnes × 5 lignes (carrés de 10 px) ; flèche « Point de départ » désignant le milieu du bord inférieur du tracé.

Le quadrillage est constitué de carrés de 10 pixels de côté.

Elle a donné aux trois élèves un script commun à intégrer dans leur programme.
On rappelle que pour le logiciel Scratch, « s'orienter à 90 » signifie « s'orienter vers la droite ».

Script commun Scratch : quand le drapeau est cliqué, aller à x : −160 y : −100, s'orienter à 90, effacer tout, mettre la taille du stylo à 4, stylo en position d'écriture, Motif.

Chaque élève a produit un script définissant le bloc motif reproduit ci-dessus.

Tableau des trois scripts « définir Motif » produits par Apolline, Kylian et Sakhina (blocs Scratch avancer de / tourner de 90 degrés / répéter 2 fois).

1. Tracer le motif obtenu par Apolline si elle appuie sur le drapeau, en prenant pour échelle : 1 cm pour 10 pixels.

2. Quel élève a un script permettant d'obtenir le motif souhaité ?

3. On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-dessous.

Figure sur quadrillage composée de quatre motifs numérotés 1 à 4 agencés en croix autour du point A.

Quelle est la nature de la transformation du plan qui permet de passer à la fois du motif 1 au motif 2, du motif 2 au motif 3 et du motif 3 au motif 4 ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.

Exercice 4

5 points

On considère un ensemble de deux dés équilibrés dont voici les patrons.

Patrons des deux dés : dé A avec les faces 2, 2, 6, 6, 7, 7 ; dé B avec les faces 3, 3, 4, 4, 8, 8.

Le jeu consiste à lancer ces deux dés. Le dé dont le nombre inscrit sur la face supérieure est le plus grand est déclaré gagnant.

1. On a simulé 100 lancers des dés A et B. On obtient 54 victoires du dé A. Peut-on affirmer que le dé A a une probabilité de 54% de gagner contre le dé B ? Justifier votre réponse.
2. a. À l'aide d'un tableau à double entrée, décrire l'ensemble des issues de cette expérience aléatoire et identifier, pour chaque issue, le dé gagnant.
b. Montrer que la probabilité que le dé B l'emporte sur le dé A est $\frac{5}{9}$ .

Exercice 5

6 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.

1. Affirmation 1 : la fonction $f:x \mapsto -\frac{7}{3}x$ est une fonction affine.
2. Affirmation 2 : le prix d'un objet est passé de 28 € à 56 €. Son prix a donc augmenté de 200%.
3. Affirmation 3 : pour tout nombre $x$ , l'expression $A=(2x+3)(x-5)-2x^2$ est égale à l'expression $B=-3(x-5)-4x$ .
4. Affirmation 4 : tout carré est un losange.
5. Affirmation 5 : soient $a$ et $b$ deux nombres décimaux non nuls. Le quotient de $a$ par $b$ est un nombre décimal.
6. Affirmation 6 : il existe deux nombres décimaux non nuls $a$ et $b$ tels que le quotient de $a$ par $b$ est un nombre décimal.

Corrigé

Exercice 1

8 points

Partie A

1. Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 140^2 + 105^2 = 19600 + 11025 = 30625$ .
$AC = \sqrt{30625} = 175\text{ m}$ .
2. Dans le triangle ABC, E $\in$ (AB), D $\in$ (BC) et les droites (ED) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
$\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BA} \implies \frac{75}{105} = \frac{BE}{140} \implies BE = \frac{140 \times 75}{105} = 100\text{ m}$ .
3. a. Aire(ABC) = $\frac{AB \times BC}{2} = \frac{140 \times 105}{2} = 7350\text{ m}^2$ .
b. Aire(EBD) = $\frac{EB \times BD}{2} = \frac{100 \times 75}{2} = 3750\text{ m}^2$ .
Aire(AEDC) = Aire(ABC) - Aire(EBD) = $7350 - 3750 = 3600\text{ m}^2$ .
c. Diamètre du demi-disque : $CD = BC - BD = 105 - 75 = 30\text{ m}$ . Le rayon est $15\text{ m}$ .
Aire(demi-disque) = $\frac{\pi \times 15^2}{2} = 112,5\pi\text{ m}^2$ .
Aire(zone) = $3600 + 112,5\pi \approx 3953\text{ m}^2$ .

Partie B

1. Vitesse de l'équipe 1 : $11\text{ km/h}$ . Allure de l'équipe 2 : $6\text{ min } 10\text{ s / km}$ , soit $370\text{ s / km}$ .
En 1 heure ( $3600\text{ s}$ ), l'équipe 2 parcourt : $3600 / 370 \approx 9,73\text{ km/h}$ . L'équipe 1 est donc la plus rapide.
2. a. Les temps pour la balise X sont 5,2 ; 3,2 ; 4,5. Le min actuel est 3,2 (Équipe 2, la plus rapide, ce qui est cohérent avec l'énoncé). L'étendue est de 2,9 min. Le temps maximal est donc $3,2 + 2,9 = 6,1\text{ min}$ . Le temps de l'équipe 4 est de $6,1\text{ min}$ .
b. Moyenne W = $\frac{4,1 + 5,5 + 4,9 + 4,5}{4} = \frac{19}{4} = 4,75\text{ min}$ . En minutes et secondes : $4\text{ min } + 0,75 \times 60\text{ s} = 4\text{ min } 45\text{ s}$ .
c. La formule est =MOYENNE(B2:B5).

Partie C

1. $V_{\text{grand\_cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 10^2 \times 15 = 500\pi \text{ cm}^3$ .
2. Le coefficient de réduction est $k = \frac{SA}{SO} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ .
3. $V_{\text{petit\_cône}} = k^3 \times V_{\text{grand\_cône}} = (\frac{1}{5})^3 \times 500\pi = \frac{1}{125} \times 500\pi = 4\pi \text{ cm}^3$ .
4. $V_{\text{balise}} = V_{\text{grand\_cône}} - V_{\text{petit\_cône}} = 500\pi - 4\pi = 496\pi \text{ cm}^3 \approx 1558 \text{ cm}^3$ .

Démarche et points de vigilance

Sujet complet en trois parties indépendantes : commencez par celle où vous êtes le plus à l'aise. Partie A : démarche classique — Pythagore pour AC, Thalès pour BE (citez les hypothèses : points alignés, droites parallèles), puis aire du quadrilatère obtenue par différence entre deux triangles. Partie B : ramenez vitesse et allure dans la même unité avant de comparer, et attention à la conversion 4,75 min = 4 min 45 s (les décimales de minutes ne sont pas des secondes). Partie C : le point le plus discriminant du barème — dans une réduction de coefficient $k$ , le volume est multiplié par $k^3$ , pas par $k$ . Gardez les valeurs exactes (avec π) jusqu'à l'arrondi final demandé : arrondir trop tôt fait perdre des points.

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